·格式什么的随意了（写了一半发现好像都是标题），目前只写部分定义定理（所以用不上正文）。语言多有不通顺之处，细节也可能有误，都是基于我的理解并尝试以利于记忆的方式来展示，请多指教

·参考中国科学院大学 李子明老师的线代B课程（参考书是柯斯特利金）note和Axler的LADR

·www.mmrc.iss.ac.cn/~zmli/LinearAlgebra2021.html 感恩互联网的发达

·浅蓝是定义，绿是小结论，黄是重要结论/引理

Rⁿ上的子空间/线性空间：满足向量加法封闭，数乘封闭；

（子集的）张成/Span(也是个集合)：{$\sum a_{i}\vec{x}_{i}$ |a_i任意实数（包括0，子空间的交，和可以用上)} 注：向量由向量组线性组合/表出，向量组线性无关/相关的定义省略；子集的交/并/和就是每个子集都取一个向量进行交/并/和运算然后把所有可能的组合收集起来，你会发现不少这种“所有可能的组合”出现了不少，比如刚刚的张成就是所有可能的线性组合收集起来；线性映射的Hom(A,B)就表示把A→B的线性映射收集起来

什么子集还是子空间呢（总不可能每两个向量都验证一遍定义吧）：任意向量的线性组合都在该子集中

什么子集还是子空间呢：张成肯定是子空间，不仅如此子集的张成还是最小的包含它的子空间（翻译成数学语言就是如果一个子空间作为集合包含该子集，那么这个子空间也包含张成）

什么子集还是子空间呢：子空间的交/和肯定是子空间 思考：并为什么不一定（举例子）

Plus,U+V=span $U \cup V$;if $U \cap V=\varnothing,U+V:=U \oplus V$

线性组合引理：两组向量V（k个向量），W（l个），W中任意向量属于spanV，如果W线性无关，那么l≤k 注：证明的时候是用高斯消元证明逆否命题，即如果l＞k，那么W线性相关，我觉得正着来不好记

从张成出发定义子集U的极大线性无关组W：1.线性无关 2.任意U中向量属于spanW

因为后面还证了极大线性无关组包含线性无关组，这和我们主观上的“极大”重逢。笔者记得学工科的书时是从字面意义理解“极大”

从唯一组合出发定义子空间的基B：子空间的任意向量都存在唯一的a₁,···,a_k使得该向量由B线性表出

子空间一组基和极大线性无关组相等

推论：子集U极大线性无关组W和子空间spanU的一组基相等 注：这里证明spanW＝spanU即可

基扩充定理：设子空间的一组线性无关的向量，存在一组基包含这组向量 注：大胆在向量组后面设几个向量，要求新向量组符合维数和依旧线性无关就好

维数：子空间的基的向量个数（cardinal）

命题（维数定理）：U，W都是子空间，$dim(U \cap W)+dim(U+W)=dimU+dimW$

行空间/列空间：矩阵的行向量/列向量组的张成，行秩/列秩是行空间/列空间的维数 注：现在知道凡事都提一嘴子集子空间的区别了吧？基是子空间下定义，子集里面用极大线性无关组找的；张成又正好是子空间

下面给出了寻找行/列向量组的极大线性无关组的理论

通过一次初等行/列变换，行/列空间不变，行/列秩不变 推论：有限次也不变

行秩＝列秩，所以定义矩阵的秩等于行秩，也等于列秩

大概鸽了，rephrase确实不是一易事，也不怎么利于没系统学过的一窥数学语言（是我太菜了） 我是本想写naive naive set theory但对我来说好像我也没掌握什么，最好用的还是2-sided inverse验证双射吧 郁闷的时候再写点（？） note: iff : if and only if ; wlog : without loss of generality ; i.e. :id est(换言之).

让我们看看方程（这里，L所代表的非齐线性方程组和增广矩阵不加区分，H同理）

高斯消元法：通过初等行变换把增广矩阵L:=$(A|\vec{b})$变成阶梯型，有如下定理：如果有0方程，则不确定（相容）；如果非0方程有n个 i.e. 0方程（0=0）有m-n个，则有解且确定；（推论）如果m-n＜0，则肯定不是确定的

没有0方程的时候就是0=某个数，显然无解

齐次线性方程组H(for homogeneous):=$(A|\vec{0})$有零解，从而相容

有非平凡解的H可以化成k个非0方程，其中k小于未知元个数n（*）

推论：H中m-n＜0则有非平凡解。由于k≤m（自然，不能超过方程个数）＜n（题设）

说回子空间，子空间的和是子空间。现在定义

线性流形M：$M:=v+U=\{ \vec{v}+\vec{u} | \vec{u} \in U\}$

L相容，那么$sol L=v+sol H$，其中$\vec{v} \in sol L$

引理：设M=x+U=y+V,则U=V且$\vec{x}-\vec{y} \in U$ ps:如果有学群的话，coset也挺类似的

定性部分：(i)L相容 iff rankA=rankB (ii)L确定 iff rankA=rankB=n

推论：H有非平凡解 iff rankA<n 不难注意到H肯定有平凡解，而由(ii)可以判断只有平凡解时等于n（*）

推论：L确定 iff rankA=n 这里需要证明反向，即假设rankA=n证明L确定（rankB=n）

推论：L确定 iff H确定

定量部分，对偶定理方程版 dim solH + rankA = n

推论：如果L相容，则 dim solL + rankA = n

$\phi_{A}:\mathbb{R}^{n \times m} \rightarrow Hom(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})$

A $\stackrel{induce}{\rightsquigarrow} \phi_{A}$